201703

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読む・書く・考える IQ200の「学び」の方法読む・書く・考える IQ200の「学び」の方法感想大した内容は書いていないが、それぞれに過去の偉人を例として挙げる点は読書量の多さを感じられる。天才と言われていても、勉強法などは周知の論文で発表されているものばかりである。その他有象無象については、現代の教育の仕方に問題があるということになる。読了日:03月13日 著者:矢野 祥
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読書メーター

体感価値や確率を定量化するプロスペクト理論

今回はプロスペクト理論について解説させて頂きます。プロスペクト理論を一言でいうと人間が感じる価値や確率(体感価値・確率)を定量的に表現するために使う理論です。

プロスペクト理論はカーネマン博士によってノーベル経済学賞を受賞されております。

プロスペクト理論の重要な概念2つ

価値関数
確率加重関数

プロスペクト理論には価値関数と確率加重関数という2つの重要な概念があります。難しそうな言葉ですが、内容はいたって簡単です。百聞は一見にしかずという事で早速下記グラフをご覧ください。

こちらのグラフが価値関数というグラフで、価値について人間が感じる体感価値と実際の価値との関係を表したものです。

横軸が客観的価値(実際の価値)を表しており、縦軸が主観的価値(体感価値)を表しております。

客観的価値(実際の価値)が+1.0の場合の主観的価値(体感価値)は+1.0という事が分かりますが、客観的価値(実際の価値)が-1.0の場合の主観的価値(体感価値)は-2.25となっています。

この主観的価値(体感価値)の不均衡が何を意味しているのかと言うと、人間は得したときの体感よりも、損をしたときの心理的(体感的)ダメージの方が大きいという事が定量的に表わされています。

つまり、客観的には±1.0の価値でも、体感ではプラスの場合は+1.0ですがマイナスの場合は-2.25というプラスの場合の2.25倍の心理的(体感的)ダメージがあるという事です。

例えば、100万円利益を出したあとに100万円損しても実収支は±0円なのですが、心理的(体感的)には-125万円損した気分だという事です。(100万×1倍 + -100万×2.25倍 = -125万)

価値関数の計算式
価値関数v(x)
出所⇒wiki

上記グラフでは α=0.88、β=0.88、λ=2.25 の推定値を使用
出所⇒Kahneman and Tversky(1992) のレポートの311p参照

確率加重関数
こちらのグラフが確率加重関数というグラフで、確率について人間が感じる体感確率と実際の確率をの関係を表したものです。

横軸が客観的確率(実際の確率)を表しており、縦軸が主観的確率(体感確率)を表しております。

赤い点線が本来の確率です。ここで注目して頂きたいのが、青い矢印の部分と黄色い矢印の部分です。

青い矢印の部分は本来の確率よりも体感的に過大評価してしまう部分で、逆に黄色い矢印の部分は本来の確率より体感的に過小評価してしまう部分です。

つまり、確率が低い場合人間は体感的に過大評価する傾向にあり、確率が高い場合人間は体感的に過小評価してしまうということです。

例えば前回の記事で紹介した、宝くじに当選する事(当選確率1/2000万)には期待するが(過大評価)、交通事故にあう(交通事故確率=1/195)なんて考えていない(過小評価)といった感じです。

確率加重関数の計算式
確率加重関数w+
確率加重関数w-
出所⇒wiki

上記グラフでは γ=0.61、δ=0.69 の推定値を使用
出所⇒Kahneman and Tversky(1992) のレポートの312p参照

プロスペクト理論から導かれる答え
一つ目のグラフ(価値関数)も二つ目のグラフ(確率加重関数)も共に、客観的価値・確率(実際の価値・確率)と主観的価値・確率(体感価値・確率)の関係を表したものです。

この体感価値・確率(心理)という漠然としたものを定量的に表す事ができる点でプロスペクト理論というのは非常に面白いと思います。流石ノーベル経済学賞を受賞された理論だけの事はあります。

価値関数によって、価値に関して人間は利益より損失を苦痛と感じるという事が分かりました。これは損失を苦痛と感じるがゆえに損切り出来ずに損大利小のトレードになってしまう心理、又は利益がでるとすぐに利確してしまう心理を証明しています。

確率加重関数によって、確率に関して人間は低確率のものを高く見積もる傾向にある事が分かりました。これは勝率30%のシステムを運用しているのに、毎回利益を期待してしまう心理の証明であります。実際勝率30%というのはほとんどが損切りです。システムを開発した自分でさえも嫌になる程に損切りばかりします。

システムトレーダーの場合、価値関数に関してはシステムが自動で売買を執行しますので特に関係ありませんが、確率加重関数の点については理解しておく必要があります。

自分の運用しているシステムの勝率がいくらで、どのぐらい連敗する可能性があるか把握していても、頭で分かっていてもいざ実際連敗するとガッカリしてしまうものです。
最大連敗数を求める方法

そういう時は私たちがシステムトレードで自動売買している理由を思い出してください。相場は自動売買に任せて、この有限で貴重な時間を相場以外に使えるというのがシステムトレーダーの最大の強みなハズです。

折角自動売買しているのに、取引の度に一喜一憂していては本末転倒です。システムが正常に稼働しているかのチェックだけしてトレード結果は無視する位が丁度いいです。

たとえ米国雇用統計が不利な方に3円飛ぼうとそれだけで一発退場するようなリスクは取っていませんから、どんと構えていきましょう。その為に統計分析してリスク管理している訳ですから。

おまけ:心理テスト
最後に、wikiをアレンジした質問をしてみたいと思います。

Q:あなたは以下の選択肢 aと b のどちらを選びますか?
・a ⇒ 100万円が無条件で手に入る。
・b ⇒ コインを投げ表が出たら300万円手に入るが、裏が出たらハズレ。

こいう問題がでたらとりあえず期待値を計算してみましょう。

aの期待値 = 100% × 100万円 = 100万円
bの期待値 = 50% × 300万円 + 50% × 0円 = 150万円

以上の事よりbの方が期待値が高い事が分かりました。では期待値が高いという理由一点のみでbを選択するべきなのでしょうか?

正解は、プレイできる回数によるです。aの場合外れるリスクはありませんが、bの場合は50%あります。つまり50%に収束するまでの試行回数をプレイできるかどうかが重要となります。

もしこのゲームに1回しか挑戦出来ないのであれば、私は迷わずにaを選択して無リスクで100万円を貰います。

1回しか挑戦出来ないのに、例えばあなたがbの方が期待値が高いからbに決まってるやん!(ドヤァ)と選択してコインが外れた場合、仕方ないと諦められますか?

価値関数によると、150万円 × 2.25 ≒ 338万円を失った心理的(体感的)ダメージを受けることになります。

むろんこのゲームに400プレイ程度挑戦できるのであれば、迷わずbを選ぶべきですが。
確率別の収束速度

つまり、期待値が高いからという1つの理由のみで判断するのは危険だということです。ゲームに参加するにはまず期待値がプラスであることは当然ですが、確率が収束するだけの試行回数プレイできるかを確認してからそのゲームに参加するか判断する必要があります。

最大連敗数を求める方法

今回はシステムの勝率別に起こりうる最大連敗数を求めてみたいと思います。

N回連続して負ける確率
勝率x%のシステムがN回連続して負ける確率は以下の様に求めることが出来ます。

N回連続して負ける確率 = ( 1 – 勝率x )^N回

この式を使って、勝率50%のシステムが5回連続して負ける確率を求めてみますと、
■5連敗する確率 = ( 1 – 50% )^5回 = 3.1%  となります。

では10回連続して負ける確率も求めてみますと
■10回連敗する確率 = ( 1 – 50% )^10回 = 0.1%  となります。

以上の事から勝率50%のシステムにおいては、5連敗する確率が3.1%で、10連敗する確率が0.1%という事が分かりました。

それでは今度は勝率x%のシステムにおいて、1%の確率で起こりうる連敗数Nを求めてみたいと思います。

起こりうる連敗数N
冒頭の計算式を展開して、N連敗する確率に1%を代入しますと以下の様になります

N連敗する確率 = ( 1 – 勝率x )^N回
連敗数N = LOG₍₁₋ₓ₎1% この式をエクセルのLOG関数を使うと以下の様になります。
※スマホでご覧の方へ⇒LOGの底に(1-x)と記載しております。

連敗数N = LOG( 1% , 1-勝率x )

この式から勝率50%のシステムにおいて1%の確率で起こりうる連敗数Nは、
■連敗数N = LOG ( 1% , 1-50% ) = 6.6回 となります。

以上の事から勝率50%のシステムにおいては最大6.6連敗する可能性が1%あるという事が分かりました。

1%の部分を危険率α(計算を間違える確率)と置き換えますと、最終的に以下の式になります。

連敗数N = LOG( 危険率α , 1-勝率x )

この計算式により、危険率αの場合に勝率x%のシステムで起こりうる連敗数Nを求める事が出来ます。

エクセルのLOG関数について
エクセルのLOG関数は、”=LOG(真数,底)”と入力するとその対数を返します。
対数とは、底を何乗したら真数になるかを表すものです。

ex.1 LOG₂4 = LOG(4,2) = 2 ※2(底)を2乗したら4(真数)になる。
ex.2 LOG₂256 = LOG(256,2) = 8 ※2(底)を8乗したら256(真数)になる。

勝率別に起こりうる最大連敗数一覧
以下の表がシステムの勝率別に起こりうる最大連敗数の一覧になります。
危険率1%と0.0001%の2パターンを求めています。

小数点は四捨五入、α=危険率、0.0001%=1ppm(100万分の1)

システム勝率 最大連敗数(α=1%) 最大連敗数(α=0.0001%)
20% 21 62

25%

16

48
30%

13

39
35%

11

32
40%

9

27
45%

8

23
50%

7

20
55%

6

17
60%

5

15
65%

4

13
70%

4

11
75%

3

10
80%

3

9
85%

2

7
90%

2

6

注意点(勝率の収束)
システムの勝率から最大連敗数を予測する上で非常に重要となるのが、そのシステムの勝率が収束しているかどうかです。取引回数が200回に満たない場合の勝率というのはシステム本来の勝率に収束していない可能性が高いので注意が必要です。

詳しくは下記記事の”確率の収束と大数の法則”をご参照下さい。

連敗数を予想してトレードにどう生かすか?
自分の運用しているシステムの勝率を確認して、最大何連敗する可能性があるのか理解する事によって、実際連敗が起こった時にパニックになって稼働を停止してしまわない様に心の準備ができます。

勝率が80%のシステムでも絶望的に運が悪ければ9連敗する事もありえるという事を知識として知っていれば、心を乱すことなくトレードを継続できます。

待機児童

保育園落ちた、日本死ね → 死ぬべきは既得権益のみなさんだったよ | More Access! More Fun!.

上記のリンクを読み、調べた限り東京23区の保育士の給与が高いというのは見つからなかった。
東京都の調査でも給与が安いのが不満と出ていた。

つまり、雇われてる保育士の給与は安くて、経営している保育士の給与は高いということなのだろうか。
だとしたら、問題の本質は経営者の待遇改善であるが。

まぐれ タレブ

確率統計の側面から金融市場を語っている本。投資について、確率統計が持ち出されるとき、ランダムな事象のほとんどの部分が一定の範囲に収まる、その内側を利用する話がほとんどです。分散投資をして、ボラティリティを小さくする話とか。
この本でタレフが取り上げているのは、一定範囲の外のまれな事象について。このような事象を「黒い白鳥(black swan)」と呼ぶが、私たちは、この黒い白鳥を無視して物を考えがちである。しかし、黒い白鳥はまれに(でもいつかきっと)やってきて、ものごとに決定的な影響を与える。
起こる可能性が高い事柄に思考を集中させる道具ではなく、まれにしか起こらないけれども影響の大きい事象に思いを寄せる
さまざまな人物をこき下ろす一方、カール・ポパーを好意的に書いている。科学的であるということは反証可能でなければならないし、何かの事象をいくつあげつらえても、たった一つの反証が見つかればくつがえされてしまうというポパーの理論を支持している。白鳥を4千羽見たが、黒いのはなかった。それでも、まだすべての白鳥を見たわけではないので黒い白鳥はいないとは言い切れない、というわけだ。